[선형대수] 4.1 Determinant and Trace (Determinant's properties ~)

공부하는 단계에서 정리한 내용입니다.

잘못된 내용이 있다면 말씀해주시면 감사하겠습니다.

https://mml-book.github.io/book/mml-book.pdf

 

4.1 Determinant and Trace

이어서 $n \times n$ 행렬 $A$의 성질에 대해서 알아볼 것이다.

$n \times n$ 행렬 $A$의 성질은 아래와 같다.

 

• $det(AB) = det(A)det(B)$

• $det(A) = det(A^{\top})$

• $det(A) \neq 0$이면 $det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$

• Similar matrices($B = P^{-1}AP$, 기저변환 행렬)끼리는 determinant가 같다.

  즉, determinant는 basis를 무엇으로 잡는가에 따라서 변하지 않는다.

• 어떤 행렬에서 한 행에 다른 행의 배수를 더해도 determinant 값은 변하지 않는다.

  아래와 같이 확인해 볼 수 있다.

• $det(\lambda A) = {\lambda}^{n} det(A)$

• 행렬 $A$에서 두 개의 행 또는 열을 서로 바꾸면 determinant의 부호가 반대가 된다.

 

 

마지막 세 개의 성질 때문에 $det(A)$를 계산할 때 gaussian elimination을 사용할 수 있다.

Gaussian elimination을 사용해서 traingular matrix로 만들고 나면 $det(A)$ 계산이 엄청 쉬워진다.

저번에 말했듯이 triangular matrix의 determinant는 대각선 원소의 곱과 같기 때문이다.

 

 

 

Theorem 4.3

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해서 $rk(A)=n \Longleftrightarrow det(A) \neq 0$이다.

 

Determinant 개념은 이후에 중요하게 작용할 것이다. (특히 바로 다음 장에 나오는 eigenvalue와 eigenvector에서!)

 

 

 

Def 4.4

Trace는 $n \times n$ 행렬의 대각선 원소의 합이다. $tr(A)$와 같이 적는다.

 

 

$n \times n$ 행렬 $A,B$의 trace에 대한 성질은 아래와 같다.

 

• $tr(A+B) = tr(A) + tr(B)$

• $tr(\alpha A) = \alpha tr(A)$

• $tr(I_{n}) = n$

• $tr(AB) = tr(BA)$ ($A \in \mathbb R^{n \times k}, B \in \mathbb R^{k \times n}$)

• $tr(AKL) = tr(LKA)$ ($A \in \mathbb R^{a \times k}, B \in \mathbb R^{k \times l}, C \in \mathbb R^{l \times a}$)

• $tr(xy^{\top}) = tr(y^{\top}x) = y^{\top}x \in \mathbb R$

• $tr(B) = tr(S^{-1}AS) = tr(ASS^{-1}) = tr(A)$

  즉, 기저를 바꿔도 $tr$값은 바뀌지 않는다.

 

따라서, linear mapping $\phi$의 행렬표현은 basis에 따라서 달라지지만, trace는 basis와 무관함을 알 수 있다!

 

 

 

지금까지 배운 모든 성질들을 사용해서 행렬 $A$를 polynomial 관점에서 이해해 볼 수 있다.

 

Def 4.5 (Characteristic Polynomial)

Characteristic polynomial은 아래와 같은 $p_{A}(\lambda) = det(A - \lambda I)$ 식으로 구한다.

여기서 $c_0 = det(A)$이고, $c_{n-1} = (-1)^{n-1}tr(A)$이다.

 

와닿지가 않아서 셀프로 예시를 들어봤다.

$2 \times 2$ 행렬 $A$와 $3 \times 3$ 행렬 $B$를 각각 전개해봤더니 진짜 $c_0$과 $c_{n-1}$가 위와 같이 나왔다.

 

 

이러한 characteristic polynomial의 개념은 바로 뒷 section에서 eigenvalue와 eigenvector들을 구할 때 사용될 것이다.