[선형대수] 2.4 Vector Spaces

공부하는 단계에서 정리한 내용입니다.

잘못된 내용이 있다면 말씀해주시면 감사하겠습니다.

https://mml-book.github.io/book/mml-book.pdf

 

- Vector Spaces란 벡터가 존재하는 공간을 나타낸다.

- Group이란 원소들의 집합과 이 원소들 위에 정의된 연산으로 이루어진 구조이다.

  이 연산이 집합의 일부 구조를 유지해야 group이라고 할 수 있다.

 

2.4.1 Groups

Def 2.7 (Group)

 

- 어떤 연산에 대해서 위 4가지 조건(폐쇄성, 결합법칙, 항등원, 역원)을 만족하면 G를 group라고 부른다.

 

- Remark. 연산에 따라서 역원의 정의와 의미가 달라진다.

  e.g. 덧셈에 대한 $x$의 역원은 $-x$이고, 곱셈에 대한 $x$의 역원은 $\frac{1}{x}$이다.

- 모든 $x$, $y$에 대해 연산 순서가 바뀌어도 결과가 동일하면, G를 Abelian(Commutative) Group라고 부른다.

  e.g. 정수 $\mathbb Z$와의 덧셈은 교환법칙을 만족하므로 abelian group임

         반면 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않으므로 abelian group이 아님

 

[예시]

- ($\mathbb Z$,+)은 아벨 군

- ($\mathbb N_{0}$,+)는 군이 아님

  ∵ 0에 대한 inverse element가 존재하지 않음

    e.g. $x=2$일 때 $−2 \notin$ $\mathbb N_{0}$

- ($\mathbb Z$,⋅)는 군이 아님

  ∵ 정수에 대한 inverse element가 존재하지 않음

    e.g. x=2인 경우 $\frac 1x$은 $\mathbb Z$에 속하지 않음

- ($\mathbb R$,⋅)는 군이 아님

  ∵ 0에 대한 inverse element가 존재하지 않음

    e.g. x=0에서 임의의 y에 대해서 x⋅y=1을 만족하는 y가 존재하지 않음

- ($\mathbb R$/{0},⋅)는 아벨군

  0을 제외한 ($\mathbb R$,⋅)은 아벨 군임

- ($\mathbb R^n$,+), ($\mathbb Z^n$,+), n∈$\mathbb N$에서 성분별 덧셈을 사용하면 아벨군임

  e.g. (1,2,3)+(4,5,6)=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9)

         (−2,0,1)+(3,−4,5)=(−2+3,0−4,1+5)=(1,−4,6)

- ($\mathbb R^{m⋅n}$,+)에서 m⋅n 행렬의 성분별 덧셈은 아벨군

- ($\mathbb R^{m⋅n}$,⋅)에서 행렬 곱셈 연산은 아벨 군이 아님

  ∵ 모든 행렬에 대해서 inverse element가 존재하는 것은 아님 (det(A)≠0일 때만 역행렬이 존재함)

 

 

Def 2.8 (General Linear Group)

 

- $GL(n,\mathbb R)$는 n×n 정사각형 행렬 중 역행렬이 존재하는 행렬(즉, det⁡(A)≠0)로 구성된 집합이다.

- 행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙(Commutativity)를 만족하지 않기 때문에, $GL(n,\mathbb R)$는 Group이지만, Abelian Group은 아니다.

 

2.4.2 Vector Spaces

Def 2.9 (Vector Space)

 

- 벡터 공간 V=(V,+,⋅)는 벡터 내적과 외적이 정의된 구조이고, 아래 조건을 만족시켜야 한다.

    - (V,+)가 아벨 군이고, distributivity와 associativity를 만족하면서,

- 두 벡터 간 직접 곱셈은 정의되지 않지만, 내적, 외적 등 다른 연산이 가능하다.

- 4번 설명… . ..

 

2.4.3 Vector Subspaces

Def 2.10 (Vector Subspace)

 

- 더 큰 벡터 공간 안에 포함된 작은 벡터 공간으로, 원래의 벡터 공간에서 정의된 연산을 제한해서 스스로 벡터 공간의 성질을 유지하는 구조를 vector subspace라고 한다.

 

- 벡터 부분공간은 상위 벡터 공간 V의 연산을 그대로 물려받는다. V의 성질이 U에도 그대로 적용된다는 뜻

- 부분집합이 부분공간인지 확인하려면 아래 조건을 확인해야 한다.

1. 0∈U (영벡터 포함)
2. 스칼라 곱과 벡터 덧셈에 대해서 닫혀 있어야 함

[예시] (노션에 정리한거 그대로 가지고 옴)